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http://www.caremind.com 피보나치 수열에 대하여
피보나치는 피사의 상업 중심지에서 태어났다. 아버지의 직업 때문에 소년시절부터 일찍이 산술에 흥미를 느끼기 시작했으며 이후 이집트, 시칠리아, 그리스, 시리아 등으로 여행을 하면서 동부와 아라비아의 수학을 접하였다. 인도-아라비아의 계산술의 실용적 우수성에 완전한 확신을 가지게 된 피보나치는 1202년에 고향으로 돌아와서 마침내 그의 유명한 저서<산술의서>를 출간하였다. 1220년에 출간된 피보나치의 <실용기하학>은 유클리드적 엄밀함과 약간의 독창성을 가지고 능숙하게 기하학과 삼각법을 다룬 방대한 자료집이다. 1225년경에는 <제곱근서>가 나왔는데 이는 부정해석학에 관한 뛰어난 독창적 작품으로서 이 책이 피보나치를 이 분야에서 가장 뛰어난 수학자로 일컬어지게 만든 작품이다. 이들 책들은 모두 당대 학자들의 능력을 훨씬 뛰어넘는 작품이었다. 아라비아에서 발달한 수학을 섭렵하여 이를 정리 ·소개함으로써, 그리스도교 여러 나라의 수학을 부흥시킨 최초의 인물이 되었다.
피보나치는 1202년 토끼의 번식에서 다음과 같은 수열을 발견하였다. ‘한 농장에서 갓 태어난 한 쌍의 아기 토끼가 생후 1개월 뒤 짝짓기를 하며 짝짓기한 뒤 1개월 뒤에 다시 한 쌍의 토끼를 생산한다면 생산된 토끼가 죽지 않고 계속 산다면 일년 후에는 토끼가 몇 마리로 불어날 것인가’
1개월 뒤에는 여전히 1쌍의 토끼,2개월 뒤에는 1쌍의 토끼가 새로 태어나기 때문에 2쌍의 토끼,3개월 뒤에는 첫 번째 암토끼가 다시 1쌍의 토끼를 생산하므로 3쌍의 토끼,4개월 후에는 2마리의 암토끼가 각각 1쌍의 토끼를 생산하므로 5쌍의 토끼가 농장에 있게 되는데 이를 수열로 나타내면 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…와 같이 된다. 수열 앞에 0과 1을 추가해 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34…를 피보나치수열이라 하며 각 항의 수를 피보나치수라 한다. 이 수열의 특징은 1=0+1,2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5…와 같이 3항 이상의 수는 바로 전 두 항의 합으로 표시된다는 특징이 있다．
이를테면, 제3항은 제1항과 제2항의 합, 제4항은 제2항과 제3항의 합이 되는 것과 같이, 인접한 두 수의 합이 그 다음 수가 되는 수열이다. 즉, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… 인 수열이며, 보통 a1＝a2＝1, an＋an+1＝an+2 (n＝1,2,3…) 로 나타낸다.
이것은 피보나치가 1202년 <산술의 서>에서 처음으로 제기하였다. 이렇게 단순한 수열이 중요해진 것은 이 수열이 자연계의 일반법칙을 나타내는 것으로 보이기 때문이다. 피보나치 수열의 인접한 두수의 비(뒷수와 앞수의 비)를 분수의 형태로 하여 수열을 만들면,
1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 12/21, 21/34, 34/55
또는
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34
와 같이 되는데, 이 두 수열은 각각
(√5－1)/2＝0.6180339…와 (√5＋1)/2＝1.6180339…
에 수렴한다. 이것은 황금분활의 비로 잘 알려진 수로, 자연계에서 많은 생물의 구조가 이를 따르는 것으로 밝혀져 있다. 예를 들어, 솔방울을 살펴보면 비늘 같은 조각이 오른쪽나선과 왼쪽나선을 이루며 교차하고 있는데, 그 나선의 수는 각각 8개와 5개로 되어 있다. 5와 8은 피보나치수열에서 서로 이웃하는 항이다. 이 밖에도 식물 중에는 꽃잎의 배열이 13:8 또는 34:21 등으로 되어 있는 경우가 많다. 식물 중에는 꽃잎 수가 피보나치수를 이루는 경우가 많다. 백합과 아이리스는 3장, 애기미나리아재비와 야생장미는 5장, 참제비고깔은 8장, 시네라리아는 13장, 치커리는 21장, 질경이는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장 혹은 89장의 꽃잎을 갖고 있다．
또한 앵무조개의 달팽이 모양 껍데기의 구조도 황금분활의 비를 잘 보여 준다. 이러한 황금비는 예로부터 자연계의 가장 안정된 상태를 나타내는 것으로 알려져 있으며, 수학·음악·미술 등의 분야에서 매우 중요하게 다루어졌다.
황금비를 구해보면 하나의 선분 AB가 있을 때, 그 선분상에 한 점 P를 구하여
(AP)2=BP ·AB 가 되도록 하는 일이다.
BP:AP＝(√5－1):2＝1:0.61803…
을 황금비라 한다. 또, 정오각형의 같은 꼭지점을 지나지 않는 두 개의 대각선은 서로 다른 쪽 대각선을 황금분할한다. 황금비를 분수로 근사 표현을 하면 다음과 같다.
1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 12/21, 21/34, 34/55......= 0.61803.........에 수렴한다
황금비는 고대 그리스에서 발견되었고, 가장 조화가 잡힌 비로서 이와 같이 이름하게 된 것인데, ‘신성비례'라고 이름할 정도로 중요시되었다. 특히 시각에 호소하는 도형이나 입체 등에서는 이 비를 많이 이용해왔으며, 예를 들면 직사각형의 두 변의 비가 황금분할이 되는 것은 여러 가지 비례의 직사각형 중에서 가장 정돈된 직사각형이라 하였다. 건축 ·조각 ·회화 ·공예등 조형예술의 분야에서는 다양한 통일의 하나의 원리로서 널리 활용되고 있다.
또, 자연의 조화가 잡힌 형태 중, 예를 들면 잎맥, 종자의 형상, 조개껍데기 소용돌이, 세포의 성장 등에서 이 비를 찾아내려고 하는 사람도 있다. 근년에는 음악 영역에서도 이것을 작곡에 활용한 예가 있다. 황금비는 일상 생활 속에서 쉽게 찾을 수 있다. 예를 들면 엽서, 담배갑이나 명함의 치수 등도 두 변의 비가 황금비에 가깝다. 물건을 선택할 때 대부분의 사람은 무의식 중에 황금비의 치수를 취하고 있다.
이 자료는 제가 피보나치 수열에 대하여 이해를 돕고자
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http://www.caremind.com 피보나치 수열에 대하여
피보나치는 피사의 상업 중심지에서 태어났다. 아버지의 직업 때문에 소년시절부터 일찍이 산술에 흥미를 느끼기 시작했으며 이후 이집트, 시칠리아, 그리스, 시리아 등으로 여행을 하면서 동부와 아라비아의 수학을 접하였다. 인도-아라비아의 계산술의 실용적 우수성에 완전한 확신을 가지게 된 피보나치는 1202년에 고향으로 돌아와서 마침내 그의 유명한 저서<산술의서>를 출간하였다. 1220년에 출간된 피보나치의 <실용기하학>은 유클리드적 엄밀함과 약간의 독창성을 가지고 능숙하게 기하학과 삼각법을 다룬 방대한 자료집이다. 1225년경에는 <제곱근서>가 나왔는데 이는 부정해석학에 관한 뛰어난 독창적 작품으로서 이 책이 피보나치를 이 분야에서 가장 뛰어난 수학자로 일컬어지게 만든 작품이다. 이들 책들은 모두 당대 학자들의 능력을 훨씬 뛰어넘는 작품이었다. 아라비아에서 발달한 수학을 섭렵하여 이를 정리 ·소개함으로써, 그리스도교 여러 나라의 수학을 부흥시킨 최초의 인물이 되었다.
피보나치는 1202년 토끼의 번식에서 다음과 같은 수열을 발견하였다. ‘한 농장에서 갓 태어난 한 쌍의 아기 토끼가 생후 1개월 뒤 짝짓기를 하며 짝짓기한 뒤 1개월 뒤에 다시 한 쌍의 토끼를 생산한다면 생산된 토끼가 죽지 않고 계속 산다면 일년 후에는 토끼가 몇 마리로 불어날 것인가’
1개월 뒤에는 여전히 1쌍의 토끼,2개월 뒤에는 1쌍의 토끼가 새로 태어나기 때문에 2쌍의 토끼,3개월 뒤에는 첫 번째 암토끼가 다시 1쌍의 토끼를 생산하므로 3쌍의 토끼,4개월 후에는 2마리의 암토끼가 각각 1쌍의 토끼를 생산하므로 5쌍의 토끼가 농장에 있게 되는데 이를 수열로 나타내면 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89…와 같이 된다. 수열 앞에 0과 1을 추가해 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34…를 피보나치수열이라 하며 각 항의 수를 피보나치수라 한다. 이 수열의 특징은 1=0+1,2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5…와 같이 3항 이상의 수는 바로 전 두 항의 합으로 표시된다는 특징이 있다．
이를테면, 제3항은 제1항과 제2항의 합, 제4항은 제2항과 제3항의 합이 되는 것과 같이, 인접한 두 수의 합이 그 다음 수가 되는 수열이다. 즉, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… 인 수열이며, 보통 a1＝a2＝1, an＋an+1＝an+2 (n＝1,2,3…) 로 나타낸다.
이것은 피보나치가 1202년 <산술의 서>에서 처음으로 제기하였다. 이렇게 단순한 수열이 중요해진 것은 이 수열이 자연계의 일반법칙을 나타내는 것으로 보이기 때문이다. 피보나치 수열의 인접한 두수의 비(뒷수와 앞수의 비)를 분수의 형태로 하여 수열을 만들면,
1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 12/21, 21/34, 34/55
또는
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34
와 같이 되는데, 이 두 수열은 각각
(√5－1)/2＝0.6180339…와 (√5＋1)/2＝1.6180339…
에 수렴한다. 이것은 황금분활의 비로 잘 알려진 수로, 자연계에서 많은 생물의 구조가 이를 따르는 것으로 밝혀져 있다. 예를 들어, 솔방울을 살펴보면 비늘 같은 조각이 오른쪽나선과 왼쪽나선을 이루며 교차하고 있는데, 그 나선의 수는 각각 8개와 5개로 되어 있다. 5와 8은 피보나치수열에서 서로 이웃하는 항이다. 이 밖에도 식물 중에는 꽃잎의 배열이 13:8 또는 34:21 등으로 되어 있는 경우가 많다. 식물 중에는 꽃잎 수가 피보나치수를 이루는 경우가 많다. 백합과 아이리스는 3장, 애기미나리아재비와 야생장미는 5장, 참제비고깔은 8장, 시네라리아는 13장, 치커리는 21장, 질경이는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장 혹은 89장의 꽃잎을 갖고 있다．
또한 앵무조개의 달팽이 모양 껍데기의 구조도 황금분활의 비를 잘 보여 준다. 이러한 황금비는 예로부터 자연계의 가장 안정된 상태를 나타내는 것으로 알려져 있으며, 수학·음악·미술 등의 분야에서 매우 중요하게 다루어졌다.
황금비를 구해보면 하나의 선분 AB가 있을 때, 그 선분상에 한 점 P를 구하여
(AP)2=BP ·AB 가 되도록 하는 일이다.
BP:AP＝(√5－1):2＝1:0.61803…
을 황금비라 한다. 또, 정오각형의 같은 꼭지점을 지나지 않는 두 개의 대각선은 서로 다른 쪽 대각선을 황금분할한다. 황금비를 분수로 근사 표현을 하면 다음과 같다.
1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 12/21, 21/34, 34/55......= 0.61803.........에 수렴한다
황금비는 고대 그리스에서 발견되었고, 가장 조화가 잡힌 비로서 이와 같이 이름하게 된 것인데, ‘신성비례'라고 이름할 정도로 중요시되었다. 특히 시각에 호소하는 도형이나 입체 등에서는 이 비를 많이 이용해왔으며, 예를 들면 직사각형의 두 변의 비가 황금분할이 되는 것은 여러 가지 비례의 직사각형 중에서 가장 정돈된 직사각형이라 하였다. 건축 ·조각 ·회화 ·공예등 조형예술의 분야에서는 다양한 통일의 하나의 원리로서 널리 활용되고 있다.
또, 자연의 조화가 잡힌 형태 중, 예를 들면 잎맥, 종자의 형상, 조개껍데기 소용돌이, 세포의 성장 등에서 이 비를 찾아내려고 하는 사람도 있다. 근년에는 음악 영역에서도 이것을 작곡에 활용한 예가 있다. 황금비는 일상 생활 속에서 쉽게 찾을 수 있다. 예를 들면 엽서, 담배갑이나 명함의 치수 등도 두 변의 비가 황금비에 가깝다. 물건을 선택할 때 대부분의 사람은 무의식 중에 황금비의 치수를 취하고 있다.
이 자료는 제가 피보나치 수열에 대하여 이해를 돕고자
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